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[转]RMQ问题以及ST算法

Posted on 2007-08-29 22:22 魔のkyo 阅读(2543) 评论(6)  编辑 收藏 引用 所属分类: Algorithm
 
       RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题是求区间最值问题。你当然可以写个O(n)的（怎么写都可以吧=_=),但是万一要询问最值1000000遍，估计你就要挂了。这时候你可以放心地写一个线段树（前提是不写错）O（logn)的复杂度应该不会挂。但是，这里有更牛的算法，就是ST算法，它可以做到O(nlogn)的预处理，O(1)！！！地回答每个询问。
       来看一下ST算法是怎么实现的(以最大值为例）：
      
       首先是预处理，用一个DP解决。设a[i]是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1，2]=5，f[1，3]=8，f[2，0]=2，f[2，1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，Dp的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。f[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max（F[i，j-1],F[i+2^(j-1)，j-1]）.
    
接下来是得出最值，也许你想不到计算出f[i，j]有什么用处，一般毛想想计算max还是要O(logn)，甚至O(n)。但有一个很好的办法，做到了O（1）。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l，r]分成两个长度为2^n的区间（保证有f[i，j]对应）。直接给出表达式：
k:=(int)(ln(r-l+1)/ln(2));
ans:=max(F[l，k],F[r-2^k+1,k]);
这样就计算了从i开始，长度为2^t次的区间和从r-2^i+1开始长度为2^t的区间的最大值（表达式比较烦琐，细节问题如加1减1需要仔细考虑

另外还有一篇《RMQ问题和LCA问题》http://blog.sina.com.cn/s/blog_40d4357f010004ug.html

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2007-09-20 10:37 by BNJ
牛人
膜拜

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2007-10-30 23:43 by sifawood
请问，F[i,j]=max（F[i，j-1],F[i+2^(j-i)，j-1]）
是否应该是
F[i,j]=max（F[i，j-1],F[i+2^(j-1)，j-1]）？

2^(j-i)没有意义啊?

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2007-11-02 16:12 by kyo
F[i,j]=max（F[i，j-1],F[i+2^(j-1)，j-1]）恩对,可能原作者笔误,我没注意

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2008-04-18 14:38 by lsz
牛啊！

# re: [转]RMQ问题以及ST算法[未登录]  回复  更多评论   

2008-10-05 22:53 by bluesky
错误：k:=ln(l(r-l+1)/ln(2));
改为：k:=ln(r-l+1)/ln(2);

# re: [转]RMQ问题以及ST算法  回复  更多评论   

2012-01-21 14:41 by 朱洽超
好神奇，谢谢了
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