神奇的菲波那契数列
菲波那契的数学代表作是《算盘书》,这是一部推动了欧洲中世纪数学发展的名著。在他的代表作中,菲波那契提出了这样的问题:
有小兔一对,若在它们出生后第二个月成年,第三个月就有生殖能力,而有生殖能力的一对兔子每一个月都生一对兔子。设所生的一对兔均为一雌一雄,且均无死亡。问新生的一对兔子一年后可以繁殖成多少对兔子?
我们可以用图表示兔子的繁殖情况。假如用“。”表示成熟的一对兔子,用“0”表示未成熟的一对兔子,则由第一对兔子开始前六个月的繁殖情况可用图表示:
由此可知:当月的兔子对数等于上个月的兔子对数加上这个月出生的兔子对数;而这个月出生的兔子对数又等于当月有生殖能力的兔子对数,即等于前两个月的兔子对数。即第n个月后的兔子对数fn,是在前一个月已有的兔子对数fn-1 的基础上增加的,增加的对数是当月有生殖能力的兔子对数,它等于前两个月就有的兔子对数fn-2,这样我们就有
fn=fn-1+fn-2
按照这样的递推关系,结合fn=f1=1,就可以一步步推算出。
因而可得数列1,1,2,3,5,8,13,……,89,144,233,……就称为“菲波那契数列” ,数列中的每一项称为“菲波那契数”。令人神往的是,它有许多奇妙的性质:
1.有趣的通项公式。
2.美妙的极限值。当菲波那契数列被发现以后,不久人们就发现了一个奇特的现象:这个“藐不出众”的数列,居然与大名鼎鼎的“美数”——黄金数联系在一起。
posted on 2006-04-07 09:12
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